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传输线上的 V+ 和 V-：输入输出之外的两个方向
从电路节点到 DDR5：一步步理解高速信号反射（3）
传输线分析里最容易让人误会的一组符号是 $V^+$ 和 $V^-$。它们不是“输入电压”和“输出电压”，而是沿两个相反方向传播的电压波。
1. 先固定坐标
令源端在 $x=0$，负载端在 $x=l$：
x = 0 x = l
源端 ─────────────────────────────────── 负载端
+x 方向 ─────────────────>
向 $+x$ 传播的波记为 $V^+$，向 $-x$ 传播的波记为 $V^-$。
2. 从分布参数得到波动方程
把一小段长度为 $\Delta x$ 的传输线展开，可以看到串联电阻 $R\Delta x$、串联电感 $L\Delta x$，以及并联电导 $G\Delta x$、并联电容 $C\Delta x$。这里的 $R,L,G,C$ 都是单位长度参数。
对这段微元应用 KVL 和 KCL，得到电报方程：
\[\frac{\partial v}{\partial x} =-Ri-L\frac{\partial i}{\partial t}\] \[\frac{\partial i}{\partial x} =-Gv-C\frac{\partial v}{\partial t}\]如果先忽略损耗，即 $R=G=0$，对上式继续消元，可以得到：
\[\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} =LC\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}\]电流也满足同样的方程。于是波速为：
\[u=\frac{1}{\sqrt{LC}}\]这说明 $V^+$ 和 $V^-$ 不是人为命名的两个“输入输出电压”，而是波动方程的两个传播方向解。
3. 两个传播方向的解
\[V^+(x,t)=f\left(t-\frac{x}{u}\right)\]向后的波可以写成：
\[V^-(x,t)=g\left(t+\frac{x}{u}\right)\]第一个表达式的含义是波形向右移动，第二个表达式的含义是波形向左移动。
4. 真实电压是两个波的叠加
线上的实际电压不是只取某一个波，而是：
\[V(x,t)=V^+(x,t)+V^-(x,t)\]对电流则有一个关键的符号差异：
\[I(x,t)=\frac{V^+(x,t)-V^-(x,t)}{Z_0}\]原因不是反射波“电流消失了”，而是我们把电流正方向固定为 $+x$。反射波实际向 $-x$ 运动，所以它对这个参考方向的电流分量带负号。
5. 一个脉冲如何进入传输线
把驱动器先简化成一个 Thevenin 源：
Vs ── Rs ── 传输线 Z0 ───────── 负载 ZL
在刚开始的瞬间，脉冲还没有到达负载。源端“看到”的不是远处的 $Z_L$，而是传输线的特性阻抗 $Z_0$。
因此，最初发出的电压波由 $V_s$、源阻抗 $R_s$ 和 $Z_0$ 共同决定：
\[V^+=V_s\frac{Z_0}{R_s+Z_0}\]这个 $V^+$ 只描述刚进入线的入射波，不一定等于电源的 Thevenin 电压，也不一定等于负载端最后测到的电压。
6. 三个“电压”要分开
在后续文章中，始终区分：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $V_s$ | 源的等效开路电压 |
| $V^+$ | 沿 $+x$ 传播的初始入射波 |
| $V_L$ | 负载端实际总电压，包含叠加结果 |
它们之间没有普遍的等号：
\[V_s\neq V^+\neq V_L\]只有在具体源阻抗、负载阻抗和传播阶段确定后，才能计算三者关系。
7. 波阻抗和功率方向
对单独的向前波：
\[\frac{V^+}{I^+}=Z_0\]对单独的向后波，如果仍采用 $+x$ 的电流参考方向：
\[\frac{V^-}{I^-}=-Z_0\]这就是为什么不能只把 $V^+$ 和 $V^-$ 当作两个普通节点电压。它们带有传播方向和对应的电流方向信息。
8. 有损传输线的频域形式
真实传输线通常不能完全忽略 $R$ 和 $G$。在正弦稳态下，令电压和电流的相量为 $V(x)$ 和 $I(x)$，电报方程变为：
\[\frac{dV}{dx}=-(R+j\omega L)I\] \[\frac{dI}{dx}=-(G+j\omega C)V\]定义传播常数和特性阻抗：
\[\gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\] \[Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\]其中 $\gamma=\alpha+j\beta$，$\alpha$ 描述衰减，$\beta$ 描述相位变化。低损耗时，这些式子退化为前面使用的 $u\approx1/\sqrt{LC}$ 和 $Z_0\approx\sqrt{L/C}$。
本篇结论
V+：向 +x 传播的波
V-：向 -x 传播的波
V ：某一点的实际总电压 = V+ + V-
I ：按参考方向计算的总电流 = (V+ - V-) / Z0
下一篇将把负载端边界条件写出来，说明为什么阻抗不连续时必须产生反射波。
References
- Characteristic impedance：正向、反向波的电压电流比，以及反向波电流符号。
- Transmission line：传输线的双向波和电报方程背景。