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反射不是电压凭空变大：从边界条件推导反射系数

#signal-integrity #reflection #transmission-line #impedance

从电路节点到 DDR5：一步步理解高速信号反射（4）

反射不是一股神秘的“额外电压”。它出现的原因很具体：到达负载的入射波，单独看通常不能满足负载端的电压电流关系，所以必须叠加一个反向传播的波。

1. 负载端必须满足什么

在负载端，实际电压和实际电流要满足负载阻抗：

\[V_L=Z_L I_L\]

另一方面，传输线两端的波叠加给出：

\[V_L=V^++V^-\] \[I_L=\frac{V^+-V^-}{Z_0}\]

把它们代入负载关系：

\[V^++V^-=Z_L\frac{V^+-V^-}{Z_0}\]

令电压反射系数为：

\[\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}\]

整理得到：

\[\boxed{\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}}\]

这就是负载端反射系数。

2. 三个极限情况

负载情况 $\Gamma_L$ 电压波结果
$Z_L=Z_0$ $0$ 没有反射
$Z_L\rightarrow\infty$ $+1$ 电压同相反射
$Z_L=0$ $-1$ 电压反相反射

匹配负载

当 $Z_L=Z_0$ 时，入射波到达负载后不需要额外的反射波来修正边界条件，因此 $V^-=0$。

开路负载

开路意味着 $I_L=0$。由

\[I_L=\frac{V^+-V^-}{Z_0}=0\]

得到 $V^-=V^+$。所以负载端电压为：

\[V_L=V^++V^-=2V^+\]

短路负载

短路意味着 $V_L=0$。因此 $V^-=-V^+$，电压在负载端抵消，而电流波相加。

3. 电压反射和电流反射不同相

对于电压，开路端是同相反射；对于电流，由于反向波的方向相反，开路端电流会抵消。

开路：电压相加，电流相消
短路：电压相消，电流相加

这也是“开路端电压可能翻倍”与“开路端电流必须为零”能够同时成立的原因。

4. 反射系数不是一个抽象标签

反射系数直接告诉我们边界对入射波做了什么：

  • 符号决定电压反射是否反相；
  • 绝对值决定反射波的相对幅度；
  • $\lvert\Gamma\rvert=0$ 表示完全匹配；
  • $\lvert\Gamma\rvert=1$ 是理想开路或短路的极限。

理想无损情况下，反射功率与入射功率之比为：

\[\frac{P_\mathrm{reflected}}{P_\mathrm{incident}}=\lvert\Gamma_L\rvert^2\]

实际走线还会有导体损耗、介质损耗和频率相关效应，因此返回源端的能量通常小于这个理想往返结果。

本篇结论

反射的根因是边界条件和阻抗不连续：

入射波到达边界
  -> 单独的入射波不满足 V = ZL I
  -> 产生反向传播波
  -> 两个波叠加后满足负载关系

下一篇专门解释“5 V 为什么会出现 2.5 V，以及开路为什么会出现 2 倍电压”。

References